Variedad proyectiva

En geometría algebraica, una variedad proyectiva sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k es un subconjunto de algún n-espacio proyectivo ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ sobre k que es el lugar de los ceros de alguna familia finita de polinomios homogéneos de n + 1 variables con coeficientes en k, que generan un ideal primo, el ideal definitorio de la variedad. De manera equivalente, una variedad algebraica es proyectiva si se puede incrustar como una subvariedad cerrada de Zariski de ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$.

Una variedad proyectiva es una curva proyectiva si su dimensión es uno; es una superficie proyectiva si su dimensión es dos; es una hipersuperficie proyectiva si su dimensión es uno menos que la dimensión del espacio proyectivo que la contiene. En este caso, es el conjunto de ceros de un único polinomio homogéneo.

Si X es una variedad proyectiva definida por un ideal primo homogéneo I, entonces el anillo cociente

${\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}$

se llama anillo coordenado homogéneo de X. Los invariantes básicos de X, como el grado y la dimensión, se pueden leer en el polinomio de Hilbert de este álgebra graduada.

Las variedades proyectivas surgen de muchas maneras. Son completas, lo que se puede expresar aproximadamente diciendo que no faltan puntos. Lo contrario no es cierto en general, pero el lema de Chow describe la estrecha relación entre estas dos nociones. Para demostrar que una variedad es proyectiva se estudian los paquetes de rectas o los divisores en X.

Una característica destacada de las variedades proyectivas son las limitaciones de finitud de la cohomología del haz. Para variedades proyectivas suaves, la dualidad de Serre puede verse como un análogo de la dualidad de Poincaré. También conduce al teorema de Riemann-Roch para curvas proyectivas, es decir, variedades proyectivas de dimensión 1. La teoría de las curvas proyectivas es particularmente rica e incluye una clasificación según el género de la curva. El programa de clasificación para variedades proyectivas de dimensiones superiores conduce naturalmente a la construcción de módulos de variedades proyectivas.^[1]​ Los esquemas de Hilbert parametrizan subesquemas cerrados de ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ con el polinomio de Hilbert prescrito. Los esquemas de Hilbert, de los cuales los grasmanianos son casos especiales, también son esquemas proyectivos por derecho propio. La teoría invariante geométrica ofrece otro enfoque. Los enfoques clásicos incluyen el espacio de Teichmüller y las variedades de Chow.

Se dispone de una teoría particularmente rica, que se remonta a los clásicos, para variedades proyectivas complejas, es decir, cuando los polinomios que definen X tienen coeficientes complejos. En términos generales, el principio GAGA dice que la geometría de los espacios (o variedades) analíticos complejos proyectivos es equivalente a la geometría de las variedades complejas proyectivas. Por ejemplo, la teoría de haces de vectores holomorfos (más generalmente haces analíticos coherentes) sobre X coincide con la de los paquetes de vectores algebraicos. El teorema de Chow dice que un subconjunto del espacio proyectivo es el lugar de los ceros de una familia de funciones holomorfas si y solo si es el lugar de los ceros de polinomios homogéneos. La combinación de métodos analíticos y algebraicos para variedades proyectivas complejas conduce a áreas como la teoría de Hodge.

1. ↑ Kollár, Moduli, Ch I.